【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AB=4cm,CD⊥AB于點(diǎn)D,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后,過點(diǎn)P作PQ∥BC交折線AD﹣DC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作等邊三角形PQR,設(shè)四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積為S(cm2),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).
(1)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上時(shí),用含t的代數(shù)式表示QR的長(zhǎng);
(2)求點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng);
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)直接寫出以點(diǎn)B,Q,R為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)t的值.
【答案】
(1)
解:如圖①,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=∠B=60°.
∵PQ∥BC,
∴∠APQ=∠ACB=60°,∠AQP=∠B=60°,
∴△APQ是等邊三角形.
∴PQ=AP=2t.
∵△PQR是等邊三角形,
∴QR=PQ=2t
(2)
解:過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,如圖②,
則點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)是AG+CG.
在Rt△AGC中,∠AGC=90°,sin60°= = ,cos60°= = ,AC=4,
∴AG=2 ,CG=2.
∴點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)2 +2
(3)
解:①當(dāng)0<t≤ 時(shí),如圖③,
S=S菱形APRQ=2×S正△APQ=2× ×(2t)2=2 t2;
②當(dāng) <t≤1時(shí),如圖④
PE=PCsin∠PCE=(4﹣2t)× =2﹣t,
∴ER=PR﹣PE=2t﹣(2﹣t)=3t﹣2,
∴EF=ERtanR= (3t﹣2)
∴S=S菱形APRQ﹣S△REF
=2 t2﹣ (3t﹣2)2=﹣ t2+6 t﹣2
(4)
解:t= 或t=
提示:①當(dāng)∠QRB=90°時(shí),如圖⑤,
cos∠RQB= = ,
∴QB=2QR=2QA,
∴AB=3QA=6t=4,
∴t= ;
②當(dāng)∠RQB=90°時(shí),如圖⑥,
同理可得BC=3RC=3PC=3(4﹣2t)=4,
∴t=
【解析】(1)易證△APQ是等邊三角形,即可得到QR=PQ=AP=2t;(2)過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,如圖②,易得點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)是AG+CG,只需求出AG、CG就可解決問題;(3)四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形可能是菱形,也可能是五邊形,故需分情況討論,然后運(yùn)用割補(bǔ)法就可解決問題;(4)由于直角頂點(diǎn)不確定,故需分情況討論,只需分∠QRB=90°和∠RQB=90°兩種情況討論,即可解決問題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)襄陽新聞報(bào)道2016年3月至2016年10月,襄陽閘口二路“大蝦一條街”共銷售大蝦6000余噸.2017年潛江養(yǎng)蝦專業(yè)戶張小花抓住商機(jī),將自己養(yǎng)殖的大蝦銷往襄陽.計(jì)算了養(yǎng)殖成本以及運(yùn)費(fèi)等諸多因素,他發(fā)現(xiàn)大蝦的成本價(jià)為20元/公斤.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,一周的銷售量公斤與銷售單價(jià)()元/公斤的關(guān)系如下表:
銷售單價(jià)元/公斤 | ... | 30 | 35 | 40 | 45 | ... |
銷售量公斤 | ... | 500 | 450 | 400 | 350 | ... |
(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若張小花一周的銷售利潤為W元,請(qǐng)求出W與的函數(shù)關(guān)系式,并確定當(dāng)銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)變化時(shí),一周的銷售利潤隨著銷售單價(jià)的增大而增大?
(3)隨著賺的錢越來越多,張小花決定回饋社會(huì)將一周的銷售利潤全部捐給襄陽市福利院.若一周張小花的總成本不超過4000元,請(qǐng)求出張小花最大捐款數(shù)額是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,則下面的結(jié)論中,正確的有 ( )
①BC與AC互相垂直;②AC與CD互相垂直;③點(diǎn)A到BC的垂線段是線段BC;④點(diǎn)C到AB的垂線段是線段CD;⑤線段BC是點(diǎn)B到AC的距離;⑥線段AC的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到BC的距離.
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)軸上表示數(shù)-1和2018的兩點(diǎn)分別為A和B,則A,B兩點(diǎn)之間的距離為( )
A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象交于點(diǎn)A(3,1),且過點(diǎn)B(0,﹣2).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如果點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn),且△ABP的面積是3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列事件中,是隨機(jī)事件的是( )
A.任意畫兩個(gè)圓,這兩個(gè)圓是等圓B.⊙O的半徑為5,OP=3,點(diǎn)P在⊙O外
C.直徑所對(duì)的圓周角為直角D.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點(diǎn),將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點(diǎn)O,BE與CD相交于點(diǎn)G,且OE=OD,則AP的長(zhǎng)為______.
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