Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)為O₁，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（3，0），且OB=OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線CO₁與x軸相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥x軸與拋物線相交于點(diǎn)F．求證：四邊形AECF是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）先利用OB=OC確定C（0，-3），再設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）先把（1）中的解析式配成頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)為O₁的坐標(biāo)為（1，-4），再利用待定系數(shù)法求出直線CO₁的解析式為y=-x-3，則可得到E（0，-3），所以AE=2，接著利用點(diǎn)C（0，-3）與點(diǎn)F關(guān)于直線x=1對(duì)稱得到CF=2，所以AE=CF，然后根據(jù)平行四邊形的判定方法可判斷四邊形AECF是平行四邊形．

解答 （1）解：∵B（3，0），
∴OB=3，
而OC=OB，
∴C（0，-3），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（2）證明：∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)為O₁的坐標(biāo)為（1，-4），
設(shè)直線CO₁的解析式為y=mx+n，
把C（0，-3）、O₁（1，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{m+n=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直線CO₁的解析式為y=-x-3，
當(dāng)y=0時(shí)，y=-x-3=-3，則E（0，-3），
∴AE=-1-（-3）=2，
∵CF∥x軸，
∴點(diǎn)C（0，-3）與點(diǎn)F關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴CF=2，
∴AE=CF，
而AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的判定；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．