Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P（1，-1）為圓心，2為半徑作⊙P，交x軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）過點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)C在⊙P上．
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求這條拋物線的解析式；
（4）在這條拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OC和PD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求∠APB的度數(shù)，知道△APB是等腰三角形，且AP=BP=2，作PE⊥AB于點(diǎn)E，且PE=1，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可以求出∠APB的度數(shù)．
（2）因?yàn)槎�點(diǎn)C的坐標(biāo)在圓周上，直接根據(jù)圖形就可以求出C的坐標(biāo)．而A、B的坐標(biāo)根據(jù)解直角三角形可以求出AE、BE的長(zhǎng)度，從而求出A、B的坐標(biāo)．
（3）因?yàn)槿齻�(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)已經(jīng)求出直接利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（4）OC和PD互相平分，所以構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)就可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入拋物線的解析式，確定該點(diǎn)是否在拋物線上．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)P作直線PE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AP、BP．
∴AE=BE，AP=BP=2
∵PE=1
由直角三角形性質(zhì)可得：
∠APE=60°．同理，∠BPE=60°．
∴∠APB=120°．

（2）∵PE⊥AB，AP=BP=2，PE=1
由勾股定理得
∴AE=BE=

3

，
∵OE=1
∴點(diǎn)A、B、和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是A(1-

3

，0)，B(1+

3

，0)，C（1，-3）．

（3）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由題意得：

0=(1- 3 )2a+(1- 3 )b+c  0=(1+ 3 )2a+(1+ 3 )b+c -3=a+b+c

解得：

a=1 b=-2 c=-2

∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-2．

（4）在這條拋物線上存在一點(diǎn)D，
使線段OC和PD互相平分．
∵線段OC和PD互相平分，分別連接PD、PO、PC、OD，
∴四邊形OPCD是平行四邊形，
∴OD∥PC，且OD=PC．
∴點(diǎn)D在y 軸上，
∵PC=2
∴OD=2
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是D（0，-2）．
∵當(dāng)x=0時(shí)．拋物線y=x²-2x-2=-2，即點(diǎn)D（0，-2）在拋物線y=x²-2x-2上．
∴在這條拋物線上存在一點(diǎn)D，使線段OC和PD互相平分．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了直角三角形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)度確定點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用．