Question

4．如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B在⊙O上，PA=PB，PB的延長線與AC的延長線交于點M．
（1）求證；PB是⊙O的切線；
（2）當(dāng)AC=6，PA=8時，求MB的長．

Answer 1

分析 （1）由△POA≌△POB，得∠PBO=∠PAO即可證明．
（2）設(shè)BM=x，OM=y，由△MOB∽△MPA，得$\frac{OB}{AB}$=$\frac{BM}{MA}$=$\frac{OM}{PM}$，列出方程組即可解決問題．

解答 （1）證明：連接PO，
∵PA是⊙O切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△POA和△POB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{PO=PO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△POA≌△POB，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O切線．
（2）解：設(shè)BM=x，OM=y，
∵∠M=∠M，∠OBM=∠MAP=90°，
∴△MOB∽△MPA，
∴$\frac{OB}{AB}$=$\frac{BM}{MA}$=$\frac{OM}{PM}$，
∴$\frac{3}{8}$=$\frac{x}{y+3}$=$\frac{y}{x+8}$，解得x=$\frac{144}{55}$，y=$\frac{219}{55}$，
∴BM=$\frac{144}{55}$．

點評 本題考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定方法，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考�？碱}型．