Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由題設(shè)條件，請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)正確結(jié)論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過(guò)程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）

答：結(jié)論一：        ；結(jié)論二：         ；結(jié)論三：          ．

（2）若∠B=45°，BC=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合），

①求CE的最大值；

②若△ADE是等腰三角形，求此時(shí)BD的長(zhǎng)．（注意：在第（2）的求解過(guò)程中，若有運(yùn)用（1）中得出的結(jié)論，須加以證明）

 

Answer 1

【答案】

（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①；②1或2－.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平面圖形的基本性質(zhì)結(jié)合圖形特征即可得到結(jié)果；

（2）①先證得△ACB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形可求得AC的長(zhǎng)，證得△ADE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)求解即可；

②分當(dāng)AD=AE時(shí)，當(dāng)EA=ED時(shí)，當(dāng)DA=DE時(shí)，這三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)求解即可.

（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，

∴△ACB為等腰直角三角形。

∴。

∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD。

∴AD：AC=AE：AD，

∴ 

當(dāng)AD最小時(shí)， AE最小，此時(shí)AD⊥BC（直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中垂線段最短），AD=BC=1。

∴AE的最小值為

∴CE的最大值=；

②當(dāng)AD=AE時(shí)，

∴∠1=∠AED=45°

∴∠DAE=90°

∴點(diǎn)D與B重合，不合題意舍去

當(dāng)EA=ED時(shí)，如圖1

∴∠EAD=∠1=45°

∴AD平分∠BAC

∴AD垂直平分BC

∴BD=1。

當(dāng)DA=DE時(shí)，如圖2

∵△ADE∽△ACD

∴DA：AC=DE：DC

∴DC=CA=

∴BD=BC－DC=2－

綜上所述，當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)的長(zhǎng)為1或2－.

考點(diǎn)：三角形的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，是中考常見(jiàn)題，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，要特別注意.