Question

15．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是AB上的一點，將△BCE沿CE折疊至△FCE，若CF，CE恰好與以正方形ABCD的中心為圓心的⊙O相切，則折痕CE=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OC，由O為正方形的中心，得到∠DCO=∠BCO，又因為CF與CE為圓O的切線，根據(jù)切線長定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF=∠BCE，由折疊可得∠BCE=∠FCE，再由正方形的內(nèi)角為直角，可得出∠ECB為30°，在直角△BCE中，設(shè)BE=x，則EC=2x，再利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到EC的長．

解答 解：連接OC，
∵O為正方形ABCD的中心，
∴∠DCO=∠BCO，
又∵CF與CE都為圓O的切線，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，
∴∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，即∠DCF=∠BCE，
又∵△BCE沿著CE折疊至△FCE，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，
在Rt△BCE中，設(shè)BE=x，則CE=2x，又BC=6，
根據(jù)勾股定理得：CE²=BC²+BE²，即4x²=x²+6²，
解得：x=2$\sqrt{3}$，
∴CE=2x=4$\sqrt{3}$．
故答案是：4$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，切線長定理，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．