Question

（1）如圖1，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延長(zhǎng)線于E，CF⊥AD交AD延長(zhǎng)線于F，求證：CE=CF．
（2）已知：如圖2，AB為⊙C的直徑，PA、PC是⊙O的切線，A、C為切點(diǎn)，∠BAC=30°．若AB=2，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC平分∠DAE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=FC；
（2）由圓的切線的性質(zhì)，得∠PAB=90°，結(jié)合∠BAC=30°得∠PAC=90°-30°=60°．由切線長(zhǎng)定理得到PA=PC，得△PAC是等邊三角形，從而可得∠P=60°；連結(jié)BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到∠ACB=90°，結(jié)合Rt△ACB中AB=2且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=

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．最后在等邊△PAC中，可得PA=AC=

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．

解答：證明：（1）連接AC，

∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC平分∠DAC，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF；
                                 
解：（2）∵PA是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，
∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．
∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°-30°=60°．
又∵PA、PC切⊙O于點(diǎn)A、C，
∴PA=PC，可得△PAC是等邊三角形，得∠P=60°．
如圖，連結(jié)BC．

∵AB是直徑，∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，
可得AC=ABcos∠BAC=2×cos30°=

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．
又∵△PAC是等邊三角形，
∴PA=AC=

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及圓的切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、直徑所對(duì)的圓周角、等邊三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．