Question

如圖，在矩形ABCD中，點E為AB的中點，EF⊥EC交AD于點F，連接CF（AD＞AE），下列結(jié)論：
①∠AEF=∠BCE；
②AF+BC＞CF；
③S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE；
④若

BC

CD

=

3

2

，則△CEF≌△CDF．
其中正確的結(jié)論是

 

．（填寫所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：推理填空題

分析：根據(jù)同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE，判斷出①正確，然后求出△AEF和△BCE相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得

AF

BE

=

EF

EC

，然后根據(jù)兩組邊對邊對應成比例，兩三角形相似求出△AEF和△ECF，再根據(jù)相似三角形對應角相等可得∠AFE=∠EFC，過點E作EH⊥FC于H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得AE=HE，利用“HL”證明△AEF和△HEF，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=FH，同理可得BC=CH，然后求出AF+BC=CF，判斷出②錯誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，判斷出③正確；根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠BCE=30°，然后求出∠DCF=∠ECF=30°，再利用“角角邊”證明即可．

解答：解：∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AEF=∠BCE，故①正確；
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴

AF

BE

=

EF

EC

，
∵點E是AB的中點，
∴AE=BE，
∴

AF

AE

=

EF

EC

，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△ECF，
∴∠AFE=∠EFC，
過點E作EH⊥FC于H，
則AE=HE，
在△AEF和△HEF中，

EF=EF AE=EH

，
∴△AEF≌△HEF（HL），
∴AF=FH，
同理可得△BCE≌△HCE，
∴BC=CH，
∴AF+BC=CF，故②錯誤；
∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，
∴S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，故③正確；
若

BC

CD

=

3

2

，則cot∠BCE=

BC

BE

=

BC

1 2 AB

=

BC

1 2 CD

=

2BC

CD

=2×

3

2

=

3

，
∴∠BCE=30°，
∴∠DCF=∠ECF=30°，
在△CEF和△CDF中，

∠DCF=∠ECF ∠D=∠CEF CF=CF

，
∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正確，
綜上所述，正確的結(jié)論是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC．