Question

如圖，在鈍角△ABC中，AB=AC，以BC為直徑作⊙O，⊙O與BA、CA的延長線分別交于D、E兩點，連接AO、BE、DC．
（1）求證：△ABO∽△CBD；
（2）若AB=2AD，且BC=2，求∠ACB的度數．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形性質求出∠D=∠AOB，證△ABD∽△CBD即可；
（2）根據直徑三角形性質求出∠DCA，根據三角形內角和定理求出∠DAC，根據三角形外角性質求出即可．

解答：解：（1）證明：∵AB=AC，OB=OC，
∴AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°=∠AOB，
∵∠ABO=∠ABO，
∴△ABD∽△CBD．

（2）∵AB=AC=2AD，
∵∠D=90°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DAC=60°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=

1

2

∠DAC=30°．
答：∠ACB的度數是30°．

點評：本題主要考查對三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，特殊角的三角函數值，含30度角的直角三角形，相似三角形的性質和判定，三角形的外角性質等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．