Question

17．如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE=2，ED=4．
（1）判斷△ABE與△ADB是否相似，并說(shuō)明理由；
（2）求AB的長(zhǎng)；
（3）求∠C的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB=AC，那么弧AB=弧AC，根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．
（2）可通過(guò)相似三角形得出線段成比例，然后求長(zhǎng)度，（1）中已得出∠ABC=∠ADB，那么三角形ABE，ABE就相似（有一個(gè)公共角）．可得出關(guān)于AE、AB、AD的關(guān)系式，有AE的長(zhǎng)，有AD的長(zhǎng)，那么就能求出AB的長(zhǎng)了．
（3）可從角的度數(shù)入手，根據(jù)（2）中得出的數(shù)據(jù)不難求出∠D的度數(shù)，也就求出了∠ABD、∠ACB、∠ABC的度數(shù)，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）△ABE與△ADB相似，
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴弧AB=弧AC．
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB；

（2）解：∵∠ABE=∠ADB，∠BAE=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB．
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$．
∵AE=2，AD=AE+ED=2+4=6，
∴$\frac{2}{AB}=\frac{AB}{6}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$；

（3）解：AC∥BD．理由如下：
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°．
∵AB=2$\sqrt{3}$，AD=6，
∴在Rt△BAD中，tan∠BDA=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠ACB=∠BDA，
∴tan∠C=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理．三角函數(shù)的定義，熟練正確相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．