Question

如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E、F分別在AD和AD的延長(zhǎng)線上，且∠AEC=∠BAC，BF∥CE．
（1）求證：∠AFB與∠BAC互補(bǔ)；
（2）圖1中是否存在與AF相等的線段？若存在，請(qǐng)找出，并加以證明，若不存在，說明理由．
（3）若將“AB=AC，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E、F分別在AD和AD的延長(zhǎng)線上”改為“AB=kAC，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E、F分別在DA和DA的延長(zhǎng)線上”，其他條件不變（如圖2）．若CE=1，BF=3，∠BAC=α，求AF的長(zhǎng)（用含k和α的式子表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,平行線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：壓軸題

分析：（1）由BF∥CE得∠AFB=∠CEF，由∠AEC=∠BAC，∠CEF與∠AEC互補(bǔ)即可證到∠AFB與∠BAC互補(bǔ)．
（2）由圖可猜想CE=AF．在AF上取一點(diǎn)G，使AG=BF，易證△ABF≌△CAG，從而有AF=CG，∠AFB=∠CGA；由∠AFB=∠CEF可得∠CGA=∠CEF，從而有CE=CG，則CE=AF．
（3）作∠GBA=∠EAC，點(diǎn)G在DA的延長(zhǎng)線上，如圖2，易證△GBA∽△EAC，從而有

AG

CE

=

AB

AC

=k，∠BGA=∠AEC=∠BAC=α．由BF∥CE可得∠BFG=180°-∠FEC=180°-α=∠BGF，從而有BG=BF．作BH⊥FG，垂足為H，如圖2，可證到GF=2FH．從而可得AF=AG+GF=AG+2FH=kCE+2BFcos∠BFG=k+6cos（180°-α）．

解答：（1）證明：如圖1，∵BF∥CE，
∴∠AFB=∠CEF．
∵∠CEF與∠AEC互補(bǔ)，∠AEC=∠BAC，
∴∠CEF與∠BAC互補(bǔ)．
∴∠AFB與∠BAC互補(bǔ)．
（2）存在，CE=AF．
證明：在AF上取一點(diǎn)G，使AG=BF，如圖1．
∵∠AFB+∠BAF+∠CAF=∠AFB+∠BAC=180°，
∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°，
∴∠ABF=∠CAF．
在△ABF和△CAG中，

AB=AC ∠ABF=∠CAG BF=AG

，
∴△ABF≌△CAG（SAS）． 
∴AF=CG，∠AFB=∠CGA．
又∵∠AFB=∠CEF，
∴∠CGA=∠CEF．
∴CE=CG．
∴CE=AF．
（3）解：作∠GBA=∠EAC，點(diǎn)G在DA的延長(zhǎng)線上，如圖2．
∵∠AEC=∠BAC，
∠GAB+∠BAC+∠EAC=180°，
∠ECA+∠AEC+∠EAC=180°，
∴∠GAB=∠ECA．
∵∠GBA=∠EAC，∠GAB=∠ECA，
∴△GBA∽△EAC．
∴

AG

CE

=

AB

AC

=k，∠BGA=∠AEC=∠BAC=α．
∴AG=kCE．
∵BF∥CE，
∴∠BFG=180°-∠FEC=180°-∠BGA=∠BGF，
∴BG=BF．
作BH⊥FG，垂足為H，如圖2，
∵BG=BF，BH⊥FG，
∴GH=FH．
∴GF=2FH．
在Rt△BHF中，cos∠BFG=

FH

BF

，
∴FH=BF•cos∠BFG．
∵CE=1，BF=3，∠BAC=α，
∴AF=AG+GF
=AG+2FH
=kCE+2BFcos∠BFG
=k+6cos（180°-α）．
∴AF的長(zhǎng)為k+6cos（180°-α）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．