Question

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，直徑HF交AC于D，HF、BC的延長線交于點(diǎn)E．
（1）若HF⊥AB，求證：∠OAD=∠E；
（2）若A點(diǎn)是下半圓上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到什么位置時(shí)，△CDE的外心在△CDE一邊上？請簡述理由．

Answer 1

解：（1）證明：連接OB，
∵HF⊥AB，
∴=，
∴∠AOH=∠ACB=∠AOB，
∵∠AOD+∠AOH=180°，∠ECD+∠ACB=180°，
∴∠AOD=∠ECD，
∵∠ODA=∠CDE，
∴∠OAD=∠E；

（2）當(dāng)AB是直徑或AC⊥DF時(shí)，△CDE的外心在△CDE的一邊上．
理由：①當(dāng)AB是直徑時(shí)，△CDE的外心在△CDE一邊上．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°，
即△CDE是直角三角形，
∴△CDE的外心在△CDE邊DE上；
②當(dāng)A運(yùn)動到使AC⊥HF時(shí)，△CDE是直角三角形．
此時(shí)△CDE的外心在△CDE邊CE上．
綜上兩種情況下，當(dāng)AB是直徑或AC⊥DF時(shí)，△CDE的外心在△CDE的一邊上．
分析：（1）首先連接OB，由HF⊥AB，根據(jù)垂徑定理與圓周角定理，即可求得∠AOH=∠ACB，繼而可得∠AOD=∠ECD，又由∠ODA=∠CDE，即可證得∠OAD=∠E；
（2）當(dāng)AB是直徑或AC⊥DF時(shí)，△CDE的外心在△CDE的一邊上．因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角，直角三角形的外心在其一邊上．
點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及三角形外心的知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意準(zhǔn)確作出輔助線．