Question

如圖，定義：在Rt△ABC中，∠C=90°，銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切，記作ctanα，即ctanα=

角α的鄰邊

角α的對邊

=

AC

BC

．根據(jù)上述角的余切定義，解答下列問題：
（1）ctan60°=

 

．
（2）求ctan15°的值．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：新定義

分析：（1）在Rt△ABC中，設(shè)∠B=60°，則∠A=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用BC表示出AC的值，再根據(jù)余切的定義進(jìn)行解答即可；
（2）作△DEG，使DE=GE，∠D=15°．過點(diǎn)G作GH⊥DE的延長線于點(diǎn)H．先根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得出∠2=∠1+∠D=30°，再設(shè)GH=x，解Rt△GEH，得出EH=

3

x，GE=DE=2x，則DH=DE+EH=2x+

3

x，然后在Rt△GDH中根據(jù)余切的定義進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）如圖，在Rt△ABC中，設(shè)∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴AC=

3

BC，
∴ctan60°=ctan∠B=

BC

AC

=

BC

3 BC

=

3

3

．
故答案為

3

3

；

（2）如圖，作△DEG，使DE=GE，∠D=15°．
過點(diǎn)G作GH⊥DE的延長線于點(diǎn)H．
∵DE=GE，∠D=15°，
∴∠1=∠D=15°，
∴∠2=∠1+∠D=30°．
在Rt△GEH中，∵∠H=90°，∠2=30°，設(shè)GH=x，
∴EH=

3

x，GE=DE=2x，
∴DH=DE+EH=2x+

3

x，
∴ctan15°=

DH

GH

=

2x+ 3 x

x

=2+

3

．

點(diǎn)評：本題考查的是解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．