Question

如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線、、、上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為、、（＞0，＞0，＞0）．

（1）求證：=；

（2）設(shè)正方形ABCD的面積為S，求證：S=；

（3）若，當(dāng)變化時，說明正方形ABCD的面積S隨的變化情況．

 

Answer 1

【答案】

（1）過A點作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點E、F，過C點作CG⊥l₃交l₃于點G，

∵l₂∥l₃，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；

（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD²=AF²+FD²，∴S=；

(3)由題意，得， 所以

，

又，解得0＜h₁＜

∴當(dāng)0＜h₁＜時，S隨h₁的增大而減小；

  當(dāng)h₁=時，S取得最小值；

當(dāng)＜h₁＜時，S隨h₁的增大而增大.

【解析】（1）通過證明三角形全等證得=；

（2）通過做輔助線構(gòu)建直角三角形，用勾股定理可得S=

（3）利用二次函數(shù)的思想求得正方形ABCD的面積S隨的變化情況．