Question

已知：如圖，矩形ABCD中，點E在邊AB上，∠DEB的平分線EF交BC的延長線于點F，且AB=BF，連接DF．
（1）若tan∠FDC=

1

2

，AD=1，求DF的長；
（2）求證：DE=BE+CF．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)tan∠FDC=

1

2

，則

FC

DC

=

1

2

，設FC=x，DC=2x，利用AB=BF即可得出FC，DC的長，進而利用勾股定理得出即可；
（2）利用角平分線的性質以及直角三角形的判定方法得出BE=NE，F(xiàn)C=DN，進而得出答案．

解答：（1）解：∵tan∠FDC=

1

2

，
∴

FC

DC

=

1

2

，設FC=x，DC=2x，
∵AB=BF，AD=1，
∴2x=1+x，
解得：x=1，
∴FC=1，DC=2，
∴DF的長為：

FC2+DC2

=

12+22

=

5

；

（2）證明：過點F作FN⊥DE于點N，
∵∠DEB的平分線EF交BC的延長線于點F，F(xiàn)N⊥DE，F(xiàn)B⊥AB，
∴FN=FB（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），
在Rt△FEN和Rt△FEB中

FE=FE FN=FB

，
∴Rt△FEN≌Rt△FEB（HL），
∴NE=BE，
在Rt△FDN和Rt△DFC中

FD=DF FN=FB

，
∴Rt△FDN≌Rt△DFC（HL），
∴FC=DN，
∴DE=NE+DN=BE+CF．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及角平分線的性質和銳角三角函數(shù)關系，作出FN⊥DE進而利用全等得出對應邊相等是解題關鍵．