Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點B、C都在第一象限內(nèi)，CA⊥x軸，垂足為點A，反比例函數(shù)y₁=$\frac{4}{x}$的圖象經(jīng)過點B；反比例函數(shù)y₂=$\frac{2}{x}$的圖象經(jīng)過點C（$\sqrt{2}$，m）．
（1）求點B的坐標；
（2）△ABC的內(nèi)切圓⊙M與BC，CA，AB分別相切于D，E，F(xiàn)，求圓心M的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求得點C的坐標，然后根據(jù)平行于x軸上點縱坐標相等，可知點B的縱坐標，然后可求得點B的橫坐標；
（2）連接MD、ME、MF．由點B和點C的坐標可求得AC、BC的長，依據(jù)勾股定理可求得AB的長，然后在△ABC中利用面積法可求得圓M的半徑，從而可求得點M的坐標．

解答 解：（1）∵CA⊥x軸，∠ACB=90°，
∴CB∥x軸．
∵將C（$\sqrt{2}$，m）代入函數(shù)y₂=$\frac{2}{x}$得：n=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴點C（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
∴點B的縱坐標為$\sqrt{2}$．
∵將y₁=$\sqrt{2}$代入得：$\frac{4}{x}$=$\sqrt{2}$，解得；x=2$\sqrt{2}$，
∴點B的坐標為（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
（2）如圖所示：連接ME、MD、MF．

∵⊙M與BC，CA，AB分別相切于D，E，F(xiàn)，
∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥AB．
∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．
∴四邊形CDME為矩形．
∵MD=ME，
∴四邊形CDME為正方形．
∵在Rt△ACB中，AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴AB=2．
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC+AB）•r，
∴⊙M的半徑=$\frac{AC•BC}{AC+BC+AB}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+2}$=$\sqrt{2}$-1．
∴點M的坐標為（2$\sqrt{2}$-1，1）．

點評 本題主要考查的是反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了反比例函數(shù)圖象上的點與函數(shù)解析式的關(guān)系、平行與坐標軸上的點的坐標特點、三角形的內(nèi)切圓、正方形的性質(zhì)和判定，求得⊙M的半徑是解題的關(guān)鍵．