Question

14．如圖，拋物線y=-x²+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，下列四個(gè)命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；  
②若a=-1，則b=3；
③拋物線上有兩點(diǎn)P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，則y₁＞y₂；
④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長的最小值為6$\sqrt{2}$．
其中真命題的序號(hào)是②③．

Answer 1

分析 觀察函數(shù)圖象，利用拋物線在x軸上所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍可對(duì)①進(jìn)行判斷；拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，則利用對(duì)稱性可對(duì)②進(jìn)行判斷；確定點(diǎn)Q比點(diǎn)P離對(duì)稱軸的距離要大，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)③進(jìn)行判斷；當(dāng)m=2時(shí)，先確定D（1，4），C（0，3），E（2，3），利用勾股計(jì)算出DE=$\sqrt{2}$，作D點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′，E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為E′，利用關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到D′（-1，4），E′（2，-3），根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得FD=FD′，GE=GE′，于是FD+FG+GE=D′E′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)四邊形EDFG周長的最小，然后利用勾股定理計(jì)算出D′E′=$\sqrt{58}$，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：當(dāng)a＜x＜b時(shí)，y＞0，所以①錯(cuò)誤；
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，當(dāng)a=-1，即A（-1，0），而點(diǎn)A與點(diǎn)B為對(duì)稱點(diǎn)，則B（3，0），所以②正確；
因?yàn)閤₁＜1＜x₂，所以點(diǎn)P和Q在對(duì)稱軸兩側(cè)，而x₁+x₂＞2，則點(diǎn)Q比點(diǎn)P離對(duì)稱軸的距離要大，所以y₁＞y₂，所以③正確；
當(dāng)m=2時(shí)，y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則D（1，4），C（0，3），
∵點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，
∴E（2，3），
∴DE=$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
作D點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′，E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為E′，則D′（-1，4），E′（2，-3），
∴FD=FD′，GE=GE′，
∴FD+FG+GE=FD′+FG+GE′=D′E′，
∴此時(shí)四邊形EDFG周長的最小，
而D′E′=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{58}$，
∴四邊形EDFG周長的最小值為$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，所以④錯(cuò)誤．
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和求最短路徑的解決方法．