Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²-$\frac{4}{3}$x+2過點(diǎn)B（1，0）．
（1）求拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及與x軸的另一交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）以AC為邊在第二象限畫正方形ACPQ，求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在拋物線y=ax²-$\frac{4}{3}$x+2的對(duì)稱軸上，且∠AMC=45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)解析式即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法，求得a，然后令y=0，解方程即可求得A的坐標(biāo)．
（2）如圖2中，依據(jù)三角形全等即可P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2中，連接QC、PA交于點(diǎn)K，以K為圓心KC為半徑畫圓交對(duì)稱軸于M（點(diǎn)M在AC上方），此時(shí)∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AKC=45°；如圖3中，點(diǎn)K關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為K′，以K′為圓心KC為半徑畫圓交對(duì)稱軸于M（點(diǎn)M在AC下方），此時(shí)∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AK′C=45°，分別利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）把B（1，0）代入拋物線y=ax²-$\frac{4}{3}$x+2，
得a-$\frac{4}{3}$+2=0，
解得a=-$\frac{2}{3}$．
所以y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
所以拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=0，
解得x₁=1，x₂=-3，
所以拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）；

（2）如圖1中，過P點(diǎn)作PE⊥y軸于E，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F．

∵四邊形ACPQ是正方形，
∴AC=CP=AQ，∠QAC=∠ACP=90°，
∴∠ACO+∠PCE=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠PCE，
在△AOC與△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAC=∠PCE}\\{∠AOC=∠PEC}\\{AC=CP}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△PCE（AAS），
∴PE=OC=2，CE=AO=3，
∴OE=OC+CE=5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，5）．
同理△AOC≌△QFA，
∴QF=AO=3，AF=OC=2，
∴OF=AF+OA=5，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-5，3）；

（3）如圖2中，連接QC、PA交于點(diǎn)K，以K為圓心KC為半徑畫圓交對(duì)稱軸于M（點(diǎn)M在AC上方），此時(shí)∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AKC=45°

設(shè)點(diǎn)M（-1，m），∵點(diǎn)K（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），KC=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∴（-1+$\frac{5}{2}$）²+（m-$\frac{5}{2}$）²=$\frac{26}{4}$，
解得m=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$（舍棄），
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（-1，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$）．
如圖3中，點(diǎn)K關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為K′，以K′為圓心KC為半徑畫圓交對(duì)稱軸于M（點(diǎn)M在AC下方），此時(shí)∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AK′C=45°

∵點(diǎn)K′（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴（-1+$\frac{1}{2}$）²+（m+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{26}{4}$，
解得m=-3或2（舍棄），
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（-1，-3），
綜上所述滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)（-1，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$）或（-1，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求解析式以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形全等的判定和性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)問題、圓，動(dòng)點(diǎn)問題的解決關(guān)鍵是找到特殊分界點(diǎn)，進(jìn)行討論是解決問題的關(guān)鍵，此題綜合性較強(qiáng)，學(xué)會(huì)添加輔助線--圓是解決最后一個(gè)問題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．