Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=x2－mx－m－1的圖像交x軸于A、B兩點(diǎn)（A、B分別位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的左、右兩側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，且△ABC的面積為6．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且PB=3PA，試求當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求此時(shí)直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）y=x2－2x－3；（2）5∶3或1∶15．

【解析】

（1）分別求出A，B，C的坐標(biāo)，結(jié)合△ABC的面積為6，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可得到二次函數(shù)解析式；

（2）設(shè)P(a，b)，根據(jù)PB=3PA以及兩點(diǎn)間的距離公式，得到b2關(guān)于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出使△PAB面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后分兩種情況：①當(dāng)P1(－，)時(shí)，②當(dāng)P2(－，－)時(shí)，分別求出此時(shí)直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比，即可．

（1）令y=0，得：0=x2－mx－m－1，解得：x1=－1，x2=m＋1，

∴A(－1，0)，B(m＋1，0)．

當(dāng)x=0時(shí)，y=－m－1，

∴C(0，－m－1)．

∵B(m＋1，0)在y軸的右側(cè)，

∴m＋1＞0，

由“△ABC的面積為6”得：S=（m＋1）（m＋2）=6，

解得：m1=－5（舍去），m2=2，

∴y=x2－2x－3．

（2）設(shè)P(a，b)，

∵A(－1，0)，B(3，0)，PB=3PA，

∴PB2=9PA2，即（3－a）2＋b2=9[（－1－a）2＋b2]，

化簡得：b2=－a2－3a．

要使△PAB面積最大，底AB=4為定值，因此只要使AB邊上的高最大，即b2取得最大值．

∵b2=－（a＋）2＋，

∴當(dāng)a=－時(shí)，b2取得最大值為，即取得最大值為，

∴P1(－，)，P2(－，－)．

①當(dāng)P1(－，)時(shí)，直線P1O的解析式為：y=－x，

∵B(3，0)，C(0，-3)，

∴直線BC的解析式為：y=x－3．

聯(lián)立y=－x與y=x－3，得-x=x-3，解得：x=，

∴P1O與BC的交點(diǎn)Q1(，－)，

∴△OBQ1的面積=×3×=，四邊形ACQ1O的面積=6-=，

∴此時(shí)直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比為∶，即5∶3．

②當(dāng)P2(－，－)時(shí)，與①同理可得直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比為1∶15．