Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．AB的垂直平分線交AB于E，交BC于M； AC的垂直平分線交AC于F，交BC于N．連接AM、AN．
（1）∠MAN的大小；
（2）求證：BM=CN．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，可求得∠B與∠C的度數(shù)，又由AB的垂直平分線交AB于E，交BC于M；可得AM=BM，繼而求得∠MAB的度數(shù)，則可求得∠AMN的度數(shù)，繼而求得答案；
（2）易得△AMN為等邊三角形，則可得AM=AN=MN，又由BM=AM，CN=AN，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵直線ME垂直平分AB，
∴BM=AM，
∴∠B=∠MAB=30°，
∴∠AMN=∠B+∠MAB=60°，
同理可得：∠ANM=60°．
∴∠MAN=180°-60°-60°=60°；

（2）證明：∵在△AMN中，∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°，
∴△AMN為等邊三角形．               
即 AM=AN=MN，
又∵BM=AM，CN=AN，
∴BM=CN．

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．