Question

已知：拋物線y=x2-(a+b)x+

c2

4

，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊．
（1）求證：拋物線與x軸必有兩個不同交點(diǎn)；
（2）設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線與y軸交于點(diǎn)N，若拋物線的對稱軸為x=a，△MNE與△MNF的面積比為5：1，求證：△ABC是等邊三角形；
（3）在（2）的條件下，設(shè)△ABC的面積為

3

，拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q，問是否存在過P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓？若存在，求出圓的圓心坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，用根的判別式和三角形三邊關(guān)系即可證得；
（2）先根據(jù)拋物線的對稱軸求出a、b的關(guān)系．然后聯(lián)立拋物線與直線l的解析式，求出E、F的橫坐標(biāo)，已知△MNE的面積是△MNF的面積的5倍，根據(jù)等底三角形的面積比等于高的比，由此可得出E的橫坐標(biāo)是F的橫坐標(biāo)的5倍，由此可求出a、c的關(guān)系，由此可求出三角形ABC的形狀為等邊三角形，得證；
（3）由（2）得到三角形ABC為等邊三角形，根據(jù)面積求出等邊三角形的邊長，即可得到三角形ABC的邊長，即得到a=b=c的值，代入確定出拋物線解析式，令解析式中的y=0，求出x的值，即可得到P和Q的橫坐標(biāo)，確定出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出PQ的長，設(shè)圓H為滿足題意的圓，根據(jù)P與Q關(guān)于對稱軸對稱，得到HJ垂直于PQ，根據(jù)垂徑定理得到J為PQ中點(diǎn)，即可求出PJ的長，又圓心H在x=2上，且圓H與y軸相切，得到圓心H的橫坐標(biāo)為2，且圓H的半徑為2，即HP=2，在直角三角形HPJ中，根據(jù)勾股定理求出HJ的長，即為圓心H的縱坐標(biāo)，寫出圓心H坐標(biāo)即可．

解答：（1）證明：令y=0，則有x²-（a+b）x+

c2

4

=0，
∴△=（a+b）²-c²，
由于a、b、c分別是△ABC的三邊，
∴a+b＞c＞0，
∴（a+b）²＞c²，
∴△＞0，
因此拋物線總與x軸有兩個交點(diǎn)．

（2）證明：由題意知：x=

a+b

2

=a，因此a=b．
設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，
聯(lián)立拋物線和直線y=ax-bc可得：x²-2ax+

c2

4

=ax-ac，
即x²-3ax+

c2+4ac

4

=0，
∴m=

3a+ 9a2-c2-4ac

2

，n=

3a- 9a2-c2-4ac

2

由題意可知：m=5n；
即3a+

9a2-c2-4ac

=15a-5

9a2-c2-4ac

即5a²-4ac-c²=0，
解得a=-

c

5

（不合題意舍去），a=c，
因此a=b=c，△ABC為等邊三角形；

（3）解：存在過P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓，理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，設(shè)邊長為m，則邊上的高為

3

2

m，
∴S_△ABC=

3

4

m²=

3

，即m²=4，解得m=2，
則a=b=c=2，拋物線解析式為y=x²-4x+1，
令y=0，得到x²-4x+1=0，解得x₁=2-

3

，x₂=2+

3

，
∴P（2-

3

，0），Q（2+

3

，0），PQ=2

3

，
∵HJ⊥PQ，∴PJ=QJ=

1

2

PQ=

3

，
∵P與Q關(guān)于拋物線的對稱軸x=2對稱，且過P和Q的圓與y軸相切于I，
∴HI=2，即圓的半徑為2，則HP=2，
在Rt△PHJ中，根據(jù)勾股定理得：HJ²=PH²-PJ²，
即HJ=

22-( 3 )2

=1，
則圓心H坐標(biāo)為（2，1）或（2，-1）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達(dá)定理、函數(shù)圖象交點(diǎn)、垂徑定理，直線與圓相切的性質(zhì)等知識點(diǎn)；本題有一定的難度，綜合性較強(qiáng)，常綜合多個考點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，因而解答時需“分解題意”，即將一個大問題分解為一個一個小問題，從而解決問題．本題第三問根據(jù)等邊三角形ABC的面積求出邊長，從而得到a，b及c的值，確定出拋物線的解析式是解題的突破點(diǎn)．