Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過O（0，0），M（1，1）和N（n，0）
（n≠0）三點(diǎn)．
（1）若該函數(shù)圖象頂點(diǎn)恰為M點(diǎn)，寫出此時(shí)n的值及y的最大值；
（2）當(dāng)n=-2時(shí)，確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷此時(shí)y是否有最大值；
（3）由（1）、（2）可知，n的取值變化，會(huì)影響該函數(shù)圖象的開口方向．請求出n滿足什么條件時(shí)，y有最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）M點(diǎn)為頂點(diǎn)，則O、N關(guān)于x=1對(duì)稱，M點(diǎn)為最大值點(diǎn)，由此得出答案；
（2）由于拋物線的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，故c=0；將M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx聯(lián)立求解，并由解出的a值判斷是否有最大值；
（3）將M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx聯(lián)立得出含a、n的方程，由a＞0確定n滿足的條件．
解答：解：（1）由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知n=2；
y的最大值為1．

（2）由題意得：，
解這個(gè)方程組得：；
故這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=；
∵＞0，
∴y沒有最大值；

（3）由題意得：，
整理得：an²+（1-a）n=0，即n（an+1-a）=0；（8分）
∵n≠0，
∴an+1-a=0；
故（1-n）a=1，而n≠1；
若y有最小值，則需a＞0，∴1-n＞0，即n＜1；
∴n＜1且n≠0時(shí)，y有最小值．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系等重要知識(shí)點(diǎn)，難度適中．