Question

如圖，Rt△OAC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的直角三角形紙片，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OC=

3

，∠CAO=30度．將Rt△OAC折疊，使OC邊落在AC邊上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，折痕為CE．
（1）求折痕CE所在直線的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)M為直線CE上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作AC的平行線，交y軸于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以M、N、D、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)椤螩AO=30°，由折疊可知∠OCE=∠ECD=

1

2

∠OCA=30°，
在Rt△COE中，利用三角函數(shù)可求OE=OC•tan∠OCE=

3

×

3

3

=1，從而可求點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，0）．
因?yàn)镺C=

3

，所以C（0，

3

）．
可設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，將C、E的坐標(biāo)代入，可得到關(guān)于k、b的方程組，解之即可；
（2）在Rt△AOC中，利用三角函數(shù)可求出AC、AO的值，因?yàn)镃D=OC=

3

，可求出AD=AC-CD=2

3

-

3

=

3

．
要求D的坐標(biāo)，需過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F．
在Rt△AFD中，利用三角函數(shù)可求DF=AD•sin∠CAO=

3

2

，AF=AD•cos∠CAO=

3

2

，所以O(shè)F=AO-AF=

3

2

，從而點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

3

2

，

3

2

）；
（3）需分情況討論：
第一種情況：若此點(diǎn)在第四象限內(nèi)，可設(shè)其為M₁，延長(zhǎng)DF交直線CE于M₁，連接M₁O，則有DM₁∥y軸．
因?yàn)镺F=

3

2

，所以可設(shè)點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（

3

2

，y₁），利用點(diǎn)M₁在直線CE上，可得y₁的值，即可求出點(diǎn)M₁的坐標(biāo)是（

3

2

，-

3

2

），所以有DM₁=DF+FM₁=

3

2

+

3

2

=

3

，OC=

3

，所以DM₁=OC．
利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可知四邊形CDM₁O為平行四邊形．而點(diǎn)O在y軸上，所以點(diǎn)M₁是符合條件的點(diǎn)．
第二種情況：此點(diǎn)在第二象限內(nèi)，設(shè)為M₂．可過點(diǎn)D作DN∥CE交y軸于N，過N點(diǎn)作NM₂∥CD交直線CE于點(diǎn)M₂，則四邊形M₂NDC為平行四邊形．
利用平行四邊形的對(duì)邊分別相等，可知M₂N=CD=

3

，
又因M₂N∥CD，DN∥CE，所以∠NM₂C=∠ACE，∠OCE=∠M₂CN，CN=M₂N．
又因M₂N=CD=

3

，所以CN=

3

．
接著可作M₂H⊥y軸于點(diǎn)H，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠M₂NC=∠NCD，∴∠M₂NH=∠OCA=60°．
在Rt△M₂NH中，利用三角函數(shù)可求出M₂H，NH的值，利用HO=HN+CN+OC=

5 3

2

可得M₂（-

3

2

，

5 3

2

）．

解答：解：（1）由題意知∠CAO=30°，
∴∠OCE=∠ECD=

1

2

∠OCA=30°，
∴在Rt△COE中，OE=OC•tan∠OCE=

3

×

3

3

=1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，0），
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b．
把點(diǎn)C（0，

3

），E（1，0）代入得

b= 3 k+b=0

，
∴

b= 3 k=- 3

，
∴直線CE的解析式為y=-

3

x+

3

．

（2）在Rt△AOC中，AC=

OC

sin∠CAO

=2

3

，
AO=

OC

tan∠CAO

=3，
∵CD=OC=

3

，
∴AD=AC-CD=2

3

-

3

=

3

，
過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，
在Rt△AFD中，DF=AD•sin∠CAO=

3

2

，
AF=AD•cos∠CAO=

3

2

，
∴OF=AO-AF=

3

2

．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

3

2

，

3

2

）．

（3）存在兩個(gè)符合條件的M點(diǎn)，
第一種情況：此點(diǎn)在第四象限內(nèi)，設(shè)為M₁，延長(zhǎng)DF交直線CE于M₁，
連接M₁O，M₁O∥AC，
則有DM₁∥y軸，
∵OF=

3

2

，
∴設(shè)點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（

3

2

，y₁），
又∵點(diǎn)M₁在直線CE上，
∴將點(diǎn)M₁的坐標(biāo)代入y=-

3

x+

3

中，
得y₁=-

3

×

3

2

+

3

=-

3

2

，即FM₁=

3

2

．
∴點(diǎn)M₁的坐標(biāo)是（

3

2

，-

3

2

），
又∵DM₁=DF+FM₁=

3

2

+

3

2

=

3

，OC=

3

，
∴DM₁=OC，
又∵DM₁∥OC，
∴四邊形CDM₁O為平行四邊形，
又∵點(diǎn)O在y軸上，
∴點(diǎn)M₁是符合條件的點(diǎn)．
第二種情況：此點(diǎn)在第二象限內(nèi)，設(shè)為M₂，
過點(diǎn)D作DN∥CE交y軸于N，過N點(diǎn)作NM₂∥CD交直線CE于點(diǎn)M₂，
則四邊形M₂NDC為平行四邊形，
∴M₂N=CD=

3

，
∵M(jìn)₂N∥CD，DN∥CE，
∴∠NM₂C=∠ACE，∠OCE=∠M₂CN，
∴CN=M₂N，
∵M(jìn)₂N=CD=

3

，
∴CN=

3

，
作M₂H⊥y軸于點(diǎn)H，
∵M(jìn)₂N∥CD，
∴∠M₂NC=∠NCD，
∴∠M₂NH=∠OCA=60°，
在Rt△M₂NH中，
M₂H=M₂N•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

，
NH=M₂N•cos60°=

3

×

1

2

=

3

2

，
∴HO=HN+CN+OC=

5 3

2

，
∴M₂（-

3

2

，

5 3

2

），
∴點(diǎn)M₂是符合條件的點(diǎn)，
綜上所述，符合條件的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M₁（

3

2

，-

3

2

），M₂（-

3

2

，

5 3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題的解決需要綜合運(yùn)用待定系數(shù)法、三角函數(shù)等知識(shí)，另外解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．