Question

10．已知拋物線y=-x²+2（m+1）x+m+3與x軸交于兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上）．與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求m的取值范圍；
（2）如果|OA|：|OB|=3：1，在該拋物線對稱軸右邊圖象上求一點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得∠PCO=∠BCO．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷點(diǎn)C在y軸的正半軸，則m+3＞0，然后解不等式即可；
（2）設(shè)A（α，0），B（β，0），（α＞0，β＜0），則OA=α，OB=-β，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=2（m+1），αβ=-（m+3），再由|OA|：|OB|=3：1得到α：（-β）=3，即α=-3β，接著消去α、β得到m的方程3（m+1）•[-（m+1）]=-（m+3），解得m₁=0，m₂=-3（舍去）易得A（3，0），B（-1，0），拋物線解析式為y=-x²+2x+3，如圖，則可求出C（0，3），設(shè)直線PC交x軸于D，利用∠PCO=∠BCO，CO⊥BD可得到D（1，0），利用待定系數(shù)法求出直線PC的解析式為y=-3x+3，然后通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵a=-1，
∴拋物線開口向下，
∵拋物線y=-x²+2（m+1）x+m+3與x軸交于兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上），
∴點(diǎn)C在y軸的正半軸，
∴m+3＞0，
∴m＞-3；
（2）設(shè)A（α，0），B（β，0），（α＞0，β＜0），則OA=α，OB=-β，
∵α、β為方程-x²+2（m+1）x+m+3=0的兩根，
∴α+β=2（m+1），αβ=-（m+3），
∵|OA|：|OB|=3：1，
∴α：（-β）=3，即α=-3β，
∴-3β+β=2（m+1），解得β=-（m+1），
∴α=3（m+1），
∴3（m+1）•[-（m+1）]=-（m+3），解得m₁=0，m₂=-3（舍去），
∴α=3，β=-1，
∴A（3，0），B（-1，0），
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3，如圖，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，則C（0，3），
設(shè)直線PC交x軸于D，
∵∠PCO=∠BCO，CO⊥BD，
∴OB=OD=1，
∴D（1，0），
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，
把C（0，3），D（1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線PC的解析式為y=-3x+3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-12}\end{array}\right.$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-12）．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象、一次函數(shù)圖象與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)．