Question

已知：如圖，點(diǎn)E為?ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線上，且EF=BE，EF與CD相交于點(diǎn)G．
（1）求證：DF∥AC；
（2）如果AB=BE，聯(lián)結(jié)DE、CF，判斷四邊形DECF的形狀并證明．

Answer 1

（1）證明：聯(lián)結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=DO．
∵BE=EF，
∴OE∥DF，即DF∥AC；

（2）解：聯(lián)接DE、CF，四邊形DECF是等腰梯形．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD．
∵AB=BE，EF=BE，
∴EF=CD．
∵四邊形ABCD是梯形，
∴四邊形DECF是等腰梯形．
分析：（1）聯(lián)結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，先由平行四邊形的對(duì)角線互相平分得出BO=DO，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊即可得出OE∥DF，即DF∥AC；
（2）先由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，再結(jié)合已知條件得出EF=CD，然后根據(jù)對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形即可判斷四邊形DECF是等腰梯形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的判定，三角形的中位線定理，難度中等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．其中（1）還有其余的證明方法．