Question

如圖，矩形ABCD中，AB=DC=6，AD=BC=，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度在射線AB上運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間是t秒，以AP為邊作等邊△APQ（使△APQ和矩形ABCD在射線AB的同側(cè)）.

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，Q點(diǎn)在線段DC上？當(dāng)t為何值時(shí)，C點(diǎn)在線段PQ上？

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N，PQ與線段BD相交于點(diǎn)M，是否存在△BMN為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由. (3)設(shè)△APQ與矩形ABCD重疊部分的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式.

                                                                            （備用圖

Answer 1

解：（1）① 當(dāng)Q點(diǎn)在線段DC上時(shí)

∵ AD=, ∠ADQ=90°, ∠DAQ=30°

∴ DQ=x,則AQ=2x

∴     ∴ x=2

∴ AP=4   ∴ t=4

           ∴當(dāng) t=4秒時(shí)，Q點(diǎn)在線段DC上. …………………………………… 3分

    

 ② 當(dāng)C點(diǎn)在線段PQ上時(shí)，點(diǎn)P在AB的延長線上，由題意得BP=2

         ∴ AP=6+2=8     ∴ t=8

         ∴當(dāng) t=8秒時(shí)，點(diǎn)C在線段PQ上. ……………………………………………… 5分

（2）△BMN為等腰三角形，有以下三種情況：

     ①當(dāng)MN=BN時(shí)，∵∠NMB=∠NBM=30°  ∴∠ANM=60°

 ∴ 此時(shí)，Q點(diǎn)在BD上，P點(diǎn)與N重合    ∴AP=AN=3     ∴t=3

     ②當(dāng)BM=BN時(shí)，作MI⊥AB于I ∵ BM=BN=3

 ∴BM=     MI=       IP=       BP=MP=  

∴AP=6-    ∴t=6-

 ③當(dāng) BM=NM時(shí)，BP=MP=NP       ∴BP=1   AP=5   ∴t=5

     綜上所述，當(dāng)t=3或6-或5時(shí)，△BMN為等腰三角形………………… 8分

 （3）①當(dāng)0≤t≤4時(shí)，s=

      ②當(dāng)4＜t≤6時(shí)，s= ，

      ③當(dāng)6＜t≤8時(shí)，

                    即新

      ④當(dāng)t≥8時(shí)，