Question

如圖，在梯形紙片ABCD中，BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD與H,BC=BH=2.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)作交折線于點(diǎn)，將紙片沿直線折疊，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、。設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒（）。

（1）當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)或四邊形與梯形重疊部分面積為，請(qǐng)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)自變量的取值范圍；

（3）平移線段，交線段于點(diǎn)，交線段。在直線上存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形。請(qǐng)求出線段的所有可能的長(zhǎng)度。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）0（3）

【解析】

試題分析：（1）t＋1， 

△PMN的邊長(zhǎng)MN＝CN－CM＝CD＋DN－CM＝1＋2t－t＝t＋1.

當(dāng)點(diǎn)P落在AB上時(shí)，過(guò)P作PE⊥MN于E.則CE＝CM＋ME＝t＋＝

∴BE＝6－＝.∵等邊△PMN，MN＝t＋1,

∴PE＝PN·sin60°＝MN·sin60°＝(t＋1).

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6.∴AC＝BC·tan30°＝.

∵∠PEB＝∠ACB＝90°，∠PBE＝∠ABC.∴△PBE∽△ABC，∴＝.

即＝，解得t＝

（2）當(dāng)0＜t≤時(shí)，△PMN在△ABC內(nèi)部.

∴S＝×(t＋1)×(t＋1)＝(t＋1)²

點(diǎn)N從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合所需時(shí)間為：＝（秒）

當(dāng)＜t＜時(shí)，△PMN與△ABC重疊部分為四邊形EFNM.

∵∠PNM＝60°，∠ABC＝30°,∴∠NFB＝∠ABC＝30°.∴NF＝NB＝6－(2t＋1)＝5－2t

∴PF＝(t＋1)－(5－2t)＝3t－4,∵∠NFB＝30°，∴∠PFE＝30°.

∵∠P＝60°，∴∠PEF＝90°,∴PE＝PF＝(3t－4)，EF＝PF＝(3t－4).

∴S_△PEF ＝EF·PE＝(3t－4)²

∴S＝S_△PMN －S_△PEF ＝(t＋1)²－(3t－4)²

＝－t²＋t－.

當(dāng)≤t＜6時(shí)，△PMN與△ABC重疊部分為△GMB.在Rt△GMB中，∠GBM＝30°，MB＝6－t.

∴GM＝MB＝(6－t)，GB＝MB＝(6－t)

∴S＝GM·GB＝(6－t)²當(dāng)t≥6時(shí)，S＝0.

（3）設(shè)BC1=X,BL=y,G在BH上，則有

當(dāng)LG=GP時(shí)

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評(píng)：在解題時(shí)要能靈運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出二次函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的關(guān)鍵．