Question

我市某服裝廠生產(chǎn)的服裝供不應(yīng)求，A車間接到生產(chǎn)一批西服的緊急任務(wù)，要求必須在12天（含12天）內(nèi)完成．為了加快進(jìn)度，車間采取工人分批日夜加班，機(jī)器滿負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)的生產(chǎn)方式，生產(chǎn)效率得到了提高，每天生產(chǎn)的西服數(shù)量y（套）與時(shí)間x（天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間x（天）	1	2	4	7	…
每天產(chǎn)量y（套）	22	24	28	34	…

平均每套西服的成本z（元）與時(shí)間x（天）的關(guān)系式為：

z=400(1≤x≤5) z=200+40x(6≤x≤12)

請(qǐng)解答下列問(wèn)題．
（1）求每天生產(chǎn)的西服數(shù)量y（套）與x（天）之間的關(guān)系式及成本z（元）與x（天）之間的關(guān)系式．
（2）已知這批西服的訂購(gòu)價(jià)格為每套1570元，設(shè)該車間每天的利潤(rùn)為W（元），試求出日利潤(rùn)W（元）與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪一天該車間獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
（3）在實(shí)際銷售中，從第6天起，該廠決定每銷售一套西服就捐贈(zèng)利潤(rùn)a（元）給希望工程．廠方通過(guò)銷售記錄發(fā)現(xiàn)，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn) （元）隨時(shí)間 （天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)每增加1天，產(chǎn)量增加2套判斷出y與x是一次函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求解即可；再根據(jù)每天的成本等于每天的套數(shù)乘以每一套的成本列式整理即可；
（2）根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)，然后整理即可得到W與x的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性解答；
（3）根據(jù)（2）列出捐贈(zèng)利潤(rùn)后的銷售利潤(rùn)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性列出不等式求解即可．

解答：解：（1）設(shè)y=kx+b（k≠0），
∵x=1時(shí)，y=22，x=2時(shí)，y=24，
∴

k+b=22 2k+b=24

，
解得

k=2 b=20

，
所以y=2x+20；
1≤x≤5時(shí)，z=400（2x+20）=800x+8000，
6≤x≤12時(shí)，z=（200+40x）（2x+20）=80x²+1200x+4000；

（2）1≤x≤5時(shí)，W=1570（2x+20）-（800x+8000）=2340x+23400，
∵k=2340＞0，
∴W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=5時(shí)，W_最大=2340×5+23400=35100，
6≤x≤12時(shí)，W=1570（2x+20）-（80x²+1200x+4000）=-80x²+1940x+27400，
對(duì)稱軸為直線x=-

1940

2×(-80)

=12

1

8

，
∵a=-80＜0，
∴當(dāng)x=12時(shí)，W_最大=-80×12²+1940×12+27400=39160，
∵35100＜39160，
∴12天該車間獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是39160元；

（3）由（2）可知捐贈(zèng)后的利潤(rùn)W=-80x²+1940x+27400-a（2x+20）=-80x²+（1940-2a）x+27400-20a，
∵扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn) （元）隨時(shí)間 （天）的增大而增大，
∴-

1940-2a

2×(-80)

≥12，
解得a≤10，
所以a的取值范圍是0≤a≤10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問(wèn)題，利用一次函數(shù)的增減性求最值，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式．