Question

3．如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE⊥CE，AE=2，CE=4，求BE的長．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{10}$，過E作EF⊥BC交BC的延長線于F，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ECF=∠EAC，推出△ACE∽△CEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{EF}{CE}=\frac{CF}{AE}=\frac{CE}{AC}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$，求得EF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，CF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：∵AE⊥CE，AE=2，CE=4，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{10}$，
過E作EF⊥BC交BC的延長線于F，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠F=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°，
∴∠ECF+∠ACE=∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠ECF=∠EAC，
∴△ACE∽△CEF，
∴$\frac{EF}{CE}=\frac{CF}{AE}=\frac{CE}{AC}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴EF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，CF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BF=BC+CF=$\frac{14\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=$\sqrt{E{F}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．