Question

（2006•河北區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)在y軸上，
（I）求此二次函數(shù)的解析式．
（II）P為線段AB上一點(diǎn)（A，B兩端點(diǎn)除外），過P點(diǎn)作x軸的垂線PC與（I）中的二此函數(shù)的圖象交于Q點(diǎn)，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為m，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，求出函數(shù)m與自變量x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．
（III）線段AB上是否存在一點(diǎn)，使（II）中的線段PQ的長(zhǎng)等于5？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可將該拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，要想用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，還需找出另外一點(diǎn)的坐標(biāo)，顯然直線AB與y軸的交點(diǎn)A是最好的選擇，按此思路求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)給出的P點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合直線AB和拋物線的解析式，先表示出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，它們縱坐標(biāo)的差即為線段PQ的長(zhǎng)．自變量的取值范圍可由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)來確定．
（Ⅲ）將PQ的長(zhǎng)代入上題的函數(shù)解析式中，能得到一個(gè)方程，若方程有解即可得到符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若方程無解，那么就不存在符合條件的P點(diǎn)．

解答：解：（Ⅰ）由直線AB：y=x+2 知，A（0，2）；
已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)其解析式為 y=a（x-2）²，代入A點(diǎn)坐標(biāo)得：
2=a（0-2）²，a=

1

2

∴拋物線的解析式：y=

1

2

（x-2）²=

1

2

x²-2x+2．

（Ⅱ）已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則P（x，x+2）、Q（x，

1

2

x²-2x+2）；
則：PQ=（x+2）-（

1

2

x²-2x+2）=-

1

2

x²+3x
由于點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)，且不與A、B重合，所以 0＜x＜6；
綜上，m=-

1

2

x²+3x，0＜x＜6，

（Ⅲ）不存在．
理由：將PQ=5代入（Ⅱ）的函數(shù)解析式中，得：
5=-

1

2

x²+3x，化簡(jiǎn)得：x²-6x+10=0
△=36-40＜0
∴不存在符合條件的P點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：該題是較為簡(jiǎn)單的二次函數(shù)綜合題，只要準(zhǔn)確得到拋物線的解析式，后面的題目就能迎刃而解．第二小題要注意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，以便正確的得到自變量的取值范圍．