Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點(diǎn)C作DA的平行線與AF相交于點(diǎn)F，CD=4

3

，BE=2．
（1）求FC的長；
（2）判斷FC是否是⊙的切線，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OC，由AF為圓O的切線，得到AF垂直于AB，再由AB垂直于CD，得到AF與CD平行，根據(jù)FC與AD平行，得到四邊形ADCF為平行四邊形，在直角三角形COE中，設(shè)OC=r，則OE=r-2，利用垂徑定理求出CE的長，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，由OA+OE求出AE的長，在直角三角形AED中，利用勾股定理求出AD的長，即為FC的長；
（2）FC為圓O的切線，理由為：由AF=CD=4

3

，F(xiàn)C=AD=4

3

，得到AF=CF，再由OA=OC，OF=OF，利用SSS得到三角形AOF與三角形COF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠OCF=∠OAF=90°，即可得證．

解答：解：（1）連接OC，
∵AF為圓O的切線，
∴AF⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴AF∥CD，E為CD中點(diǎn)，即CE=DE=

1

2

CD=2

3

，
∵FC∥AD，
∴四邊形ADCF為平行四邊形，
∴FC=AD，AF=CD
在Rt△OCE中，設(shè)OC=OB=r，則OE=OB-EB=r-2，
根據(jù)勾股定理得：OC²=CE²+OE²，即r²=（2

3

）²+（r-2）²，
解得：r=4，
∴AE=AO+OE=4+2=6，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+ED2

=

62+(2 3 )2

=4

3

，
則FC=AD=4

3

；
（2）FC為圓O的切線，理由為：
連接OF，
∵AF=CD=4

3

，F(xiàn)C=AD=4

3

，
∴AF=CF，
在△AOF和△COF中，

AF=CF OF=OF OA=OC

，
∴△AOF≌△COF（SSS），
∵∠FAO=90°，
∴∠ACO=∠FAO=90°，
則FC為圓O的切線．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．