Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接AC、AD，延長(zhǎng)AB交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且∠DCP=∠DAC．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AC=5，CD=6，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)垂徑定理由AB⊥CD得BC弧=BD弧，再根據(jù)圓周角定理得∠BOC=∠DAC，而∠DCP=∠DAC，則∠BOC=∠DCP，由于∠ECO+∠EOC=90°，所以∠ECO+∠DCP=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到PC是⊙O的切線；
（2）由AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到CE=

1

2

CD=3，在Rt△ACE中利用勾股定理計(jì)算出AE=4，設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OCE中，則OC=R，OE=AE-OA=4-R，
則利用勾股定理得到（4-R）²+3²=R²，解得R=

25

8

，所以O(shè)C=

25

8

，OE=4-

25

8

=

7

8

，然后證明Rt△PCE∽R(shí)t△COE，再利用相似比可計(jì)算出PC．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，
∵AB⊥CD，
∴BC弧=BD弧，
∴∠BOC=∠DAC，
∵∠DCP=∠DAC，
∴∠BOC=∠DCP，
∵∠ECO+∠EOC=90°，
∴∠ECO+∠DCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；
（2）∵AB⊥CD，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×6=3，
在Rt△ACE中，AC=5，CE=3，
∴AE=

AC2-CE2

=4，
設(shè)⊙O的半徑為R，
在Rt△OCE中，OC=R，OE=AE-OA=4-R，
∵OE²+CE²=OC²，
∴（4-R）²+3²=R²，解得R=

25

8

，
∴OC=

25

8

，OE=4-

25

8

=

7

8

，
∵∠EOC=∠DCP，
∴Rt△PCE∽R(shí)t△COE，
∴

PC

OC

=

CE

OE

，即

PC

25 8

=

3

7 8

，
∴PC=

75

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．