Question

（2013•欽州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+2x與x軸相交于O、B，頂點(diǎn)為A，連接OA．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和∠AOB的度數(shù)；
（2）若將拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+2x向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)m，其頂點(diǎn)為點(diǎn)C．連接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′．試判斷其形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的情況下，判斷點(diǎn)C′是否在拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+2x上，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究在拋物線(xiàn)m上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且OC為該四邊形的一條邊？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=

1

2

x²+2x得，y=

1

2

（x+2）²-2，故可得出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，令

1

2

x²+2x=0得出點(diǎn)B的坐標(biāo)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，由∠ADO=90°可知點(diǎn)D的坐標(biāo)，故可得出OD=AD，由此即可得出結(jié)論；
（2）由題意可知拋物線(xiàn)m的二次項(xiàng)系數(shù)為

1

2

，由此可得拋物線(xiàn)m的解析式過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E；過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為F，與y軸交與點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，同理可得AC的長(zhǎng)，OC=AC，由翻折不變性的性質(zhì)可知，OC=AC=OC′=AC′，由此即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)C′作C′G⊥x軸，垂足為G，由于OC和OC′關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根據(jù)CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG，根據(jù)全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出點(diǎn)C′的坐標(biāo)把x=-4代入拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+2x進(jìn)行檢驗(yàn)即可得出結(jié)論；
（4）由于點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)m上，故設(shè)Q（a，

1

2

（a-2）²-4），由于OC為該四邊形的一條邊，故OP為對(duì)角線(xiàn)，由于點(diǎn)P在x軸上，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的定義即可得出a的值，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵由y=

1

2

x²+2x得，y=

1

2

（x+2）²-2，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-2），
令

1

2

x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0），
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，
∴∠ADO=90°，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，0），
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；

（2）四邊形ACOC′為菱形．
由題意可知拋物線(xiàn)m的二次項(xiàng)系數(shù)為

1

2

，且過(guò)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，-4），
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=

1

2

（x-2）²-4，即y=

1

2

x²-2x-2，
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E；過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為F，與y軸交與點(diǎn)H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE-EF=2，
∴OC=

OE2+EC2

=

22+42

=2

5

，
同理，AC=2

5

，OC=AC，
由翻折不變性的性質(zhì)可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四邊形ACOC′為菱形．

（3）如圖1，點(diǎn)C′不在拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+2x上．
理由如下：
過(guò)點(diǎn)C′作C′G⊥x軸，垂足為G，
∵OC和OC′關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE∥OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=CE=4，C′G=OE=2，
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（-4，2），
把x=-4代入拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+2x得y=0，
∴點(diǎn)C′不在拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+2x上；

（4）存在符合條件的點(diǎn)Q．
∵點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)m上，
∴設(shè)Q（a，

1

2

（a-2）²-4），
∵OC為該四邊形的一條邊，
∴OP為對(duì)角線(xiàn)，
∴

1 2 (a-2)2-4-4

2

=0，解得a₁=6，a₂=-2，
∴Q（6，4）或（-2，4）（舍去），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到拋物線(xiàn)的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．