Question

如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；

（2）過(guò)拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).  （其中點(diǎn)E和點(diǎn)A，點(diǎn)C和點(diǎn)B分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)）

 

Answer 1

【答案】

（1）k=4，，（2）（8，），或（2，）

【解析】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4. …………1分

 故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.…………2分

設(shè)點(diǎn)B（t，），，AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，

則有    解得，.…………3分

于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，…………4分

故，整理得，…………5分

解得，或t＝（舍去）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．…………6分

因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，

所以 解得   …………7分

（2）如圖，

因?yàn)?i>AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.

設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D， 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.

因?yàn)椤?i>COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.…………9分

（i）將△繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）.

延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得=，

這時(shí)點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn). …………12分

（ii）作△關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△，得到點(diǎn)（1，）；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得＝，這時(shí)點(diǎn)E_２（2，）是符合條件的點(diǎn)．

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，），或（2，）.         …………14分

思考：如果不寫對(duì)應(yīng)，是否還有點(diǎn)？

（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求得k的值，根據(jù)△AOB的面積求得點(diǎn)B坐標(biāo)，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，可求得a，b，的值；

（2）分兩種情況（i）將△繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，（ii）作△關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△，進(jìn)行解答