Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，2），直線l的解析式為y=x+1，l與x、y軸分別交于點B、C．
（1）求點C的坐標；
（2）求cos∠CBO的值；
（3）在第一象限內(nèi)，直線l上是否存在點P，使∠OPA=90°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點C的橫坐標代入直線方程，即可求得點C的縱坐標，則C（0，1）；
（2）將點B的縱坐標代入直線方程即可求得點B的坐標是（-1，0），則易證△BCO的等腰直角三角形，所以根據(jù)特殊角的三角形函數(shù)值求得cos∠CBO的值；
（3）假設存在P（m，m+1），使∠OPA=90°．則由勾股定理知OP²+PA²=OA²，利用兩點間的距離公式即可列出關于m的方程，通過解方程求得點m的值．

解答：解：（1）令x=0，則y=1，則C（0，1）；

（2）令y=0，則0=x+1，
解得，x=-1，
∴B（-1，0），
∴OB=1．
∵由（1）知，C（0，1），
∴OC=1，
∴OB=OC．
∴如圖，△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴cos∠CBO=

2

2

；

（3）假設存在點P，使∠OPA=90°．
∵點P在直線y=x+1上，∴設P（m，m+1）（m＞0），
∴在直角△OPA中，根據(jù)勾股定理知OP²+PA²=OA²，即m²+（m+1）²+（m-3）²+（m+1-2）²=2²+3²
解得，m=

-3+ 17

4

或m=

-3- 17

4

（不合題意，舍去），
∴存在這樣的點P，其坐標是（

-3+ 17

4

，

1+ 17

4

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點間的距離公式，勾股定理的應用等．解答（2）題時，也可以根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行解答．