Question

如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角∠NDM，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN．試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：探究結(jié)論：BM+CN=NM．
證明：延長(zhǎng)AC至E，使CE=BM，連接DE，
∵△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等邊三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
即∠ABD=∠DCE=90°，
∴在Rt△DCE和Rt△DBM中，
∵，
∴Rt△DCE≌Rt△DBM（HL），
∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∴∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已經(jīng)全等）
在△DMN和△DEN中
∵
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴BM+CN=NM．
分析：延長(zhǎng)AC至E，使CE=BM，連接DE，將BM，CN放在一條直線(xiàn)上，利用已知證明△DCE≌△BMD，再證出△DMN≌△DEN，從而得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)，作出CE=BM，連接DE，將BM，CN放在一條直線(xiàn)上之是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．