Question

12．已知△ABC和△DEF為等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，點E在AB上，點F在射線AC上．
（1）如圖1，若∠BAC=60°，點F與點C重合，求證：AF=AE+AD；
（2）如圖2，若AD=AB，求證：AF=AE+BC．     

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=∠EDF=60°，推出△ABC、△DEF為等邊三角形，于是得到∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，推出△BCE≌△ACD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=BE，即可得到結(jié)論；
（2）在FA上截取FM=AE，連接DM，推出△AED≌△MFD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，證得∠ADM=∠EDF=∠BAC，推出△ABC≌△DAM（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=BC，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠BAC=∠EDF=60°，
∴△ABC、△DEF為等邊三角形，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，
在△BCE和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}BC=AC\\∠BCE=∠ACD\\ CE=CD\end{array}\right.$
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，
∴AE+AD=AE+BE=AB=AF；

（2）在FA上截取FM=AE，連接DM，
∵∠BAC=∠EDF，
∴∠AED=∠MFD，
在△AED和△MFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=MF}\\{∠AKD=∠MFD}\\{KD=FD}\end{array}\right.$
∴△AED≌△MFD（SAS），
∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，
即∠ADM=∠EDF=∠BAC，
在△ABC和△DAM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}\\{∠BAC=∠ADM}\\{AC=DM}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AM=BC，
∴AE+BC=FM+AM=AF．
即AF=AE+BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．