Question

“三等分一個任意角”是數(shù)學(xué)史上一個著名問題．今天人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用過如圖所示的圖形，其中，ABCD是長方形，F(xiàn)是DA延長線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，并且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F．
（1）探索∠ECB和∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）若∠ACG=40度，GF=4，求長方形ABCD的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠AGC=2∠F，從而得到∠ACG=2∠F，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ECB=∠F，再求出∠ACB=3∠F，從而得解；
（2）先求出∠ACB=60°，再根據(jù)等角對等邊可得AC=AG=GF，然后求出AB、BC，再根據(jù)矩形的周長的定義列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∠ACB=3∠ECB．
理由如下：在△AGF中，∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠ACG=2∠F，
∵AD∥BC，
∴∠ECB=∠F，
∴∠ACB=∠ACG+∠BCE=3∠F，
故∠ACB=3∠ECB；

（2）∵∠ACG=40°，
∴∠F=

1

2

×40°=20°，
∴∠ACB=3×20°=60°，
∵∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F，
∴AC=AG=GF=4，
∴AB=4×

3

2

=2

3

，BC=4×

1

2

=2，
∴長方形ABCD的周長=2（AB+BC）=2（2

3

+2）=4

3

+4．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，解直角三角形，熟記各性質(zhì)并讀懂題目信息理解三等分角的方法是解題的關(guān)鍵．