【題目】如圖,Rt△ABC中,M為斜邊AB上一點,且MB=MC=AC=8cm,平行于BC的直線l從BC的位置出發(fā)以每秒1cm的速度向上平移,運動到經(jīng)過點M時停止. 直線l分別交線段MB、MC、AC于點D、E、P,以DE為邊向下作等邊△DEF,設△DEF與△MBC重疊部分的面積為S(cm2),直線l的運動時間為t(秒).
(1)求邊BC的長度;
(2)求S與t的函數(shù)關系式;
(3)在整個運動過程中,是否存在這樣的時刻t,使得以P、C、F為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
(4)在整個運動過程中,是否存在這樣的時刻t,使得以點D為圓心、BD為半徑的圓與直線EF相切?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) 8;(2) 當0<t≤3時,S=﹣t2+8t;當3<t≤4時,S= 3t2﹣24t+48.(3) t=(4) t=.
【解析】
試題分析:(1)利用直角三角形的性質和銳角三角函數(shù)即可;
(2)分兩段求出函數(shù)關系即可;
(3)進行分類討論即可求出t的值;
(4)若相切,利用點到圓心的距離等于半徑列出方程即可.
試題解析:(1)∵M為斜邊中點,
∴∠B=MCB=α,
∴∠AMC=2α,
∵MC=MA,
∴∠A=∠AMC=2α,
∴∠B+∠A=90°,
∴α+2α=90°,
∴α=30°,
∴∠B=30°,
∵cotB=,
∴BC=AC×cotB=8;
(2)由題意,若點F恰好落在BC上,
∴MF=4(4﹣t)=4,
∴t=3.
當0<t≤3時,如圖,
∴BD=2t,DM=8﹣2t,
∵l∥BC,
∴,
∴,
∴DE=(8﹣2t).
∴點D到EF的距離為FJ=DE=3(4﹣t),
∵l∥BC,
∴,
∵FN=FJ﹣JN=3(4﹣t)﹣t=12﹣4t,
∴HG=(3﹣t)
S=S梯形DHGE=(HG+DE)×FN=﹣t2+8t
當3<t≤4時,重疊部分就是△DEF,
S=S△DEF=DE2=3t2﹣24t+48.
(3)當0<t≤3時,∠FCP≥90°,
∴FC>CP,
∴△PCF不可能為等腰三角形
當3<t≤4時,若△PCF為等腰三角形,
∴只能FC=FP,
∴=3(4﹣t),
∴t=
(4)若相切,
∵∠B=30°,
∴BD=2t,DM=8﹣2t,
∵l∥BC,
∴,
∴,
∴DE=(8﹣2t).
∴點D到EF的距離為DE=3(4﹣t)
∴2t=3(4﹣t),
解得t=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】九(1)班數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調查,整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關信息如下表:
時間x(天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
售價(元/件) | x+40 | 90 |
每天銷量(件) | 200-2x |
已知該商品的進價為每件30元,設銷售該商品的每天利潤為y元.
(1)求出y與x的函數(shù)關系式;
(2)問銷售該商品第幾天時,當天銷售利潤最大,最大利潤是多少?
(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天銷售利潤不低于4800元?請直接寫出結果.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,O為矩形ABCD對角線的交點,DE∥AC,CE∥BD.
(1)試判斷四邊形OCED的形狀,并說明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四邊形OCED的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一組數(shù)據(jù)5,7,10,5,7,5,6,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是
A. 10B. 7
C. 6D. 5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】O為直線l外一點,A,B,C三點在直線l上,OA=4cm,OB=5cm,OC=1.5cm.則點O到直線l的距離( )
A. 大于1.5cm B. 等于1.5cm C. 小于1.5cm D. 不大于1.5cm
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