Question

有一個(gè)Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，將它放在平面直角坐標(biāo)系中，使斜邊BC在x軸上，直角頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：由于反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，點(diǎn)A可能在第一象限，也可能在第三象限，又因?yàn)樾边匓C在x軸上，所以可能點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊，也可能點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊，故一共分四種情況．針對(duì)每一種情況，都可以運(yùn)用三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解答：解：

①當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，如上圖，
過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，
∴當(dāng)y=時(shí)，x=2，∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD-CD=2-=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ，0）；
②

當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，如上圖，
過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，
∴當(dāng)y=時(shí)，x=2，∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ，0）；
③

當(dāng)點(diǎn)A在第三象限時(shí)，如上圖，
過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，
∴當(dāng)y=-時(shí)，x=-2，
∴A（-2，-），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD-CD=2-=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，0）；
④

當(dāng)點(diǎn)A在第三象限時(shí)，如上圖，
過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，
∴當(dāng)y=-時(shí)，x=-2，
∴A（-2，-），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，0）．
綜上，可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為
點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用以及30°角的直角三角形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是看到C的位置有4種不同的情況．