Question

如圖，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=4，MA=1，MB＞1．以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為等腰三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC是否可能為直角三角形？若可能求出此時(shí)x的值，不可能請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由MB＞1得3-x＞1，解得x＜2，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AM=1，BC=BN=3-x，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得1+x＞3-x，解得x＞1，由此得到x的取值范圍為1＜x＜2；
（2）由于1＜x＜2，則當(dāng)AB=BC，即x=3-x，△ABC為等腰三角形時(shí)，于是得到x=

2

3

；
（3）由于1＜x＜2，AC不能為斜邊，利用勾股定理分類(lèi)討論：當(dāng)AC²+BC²=AB²，AB為斜邊時(shí)，即1²+（3-x）²=x²；當(dāng)BC為斜邊時(shí)，AC²+AB²=BC²，即1²+x²=（3-x）²，然后分別解方程求出對(duì)應(yīng)x的值．

解答：解：（1）∵M(jìn)N=4，MA=1，AB=x，
∴BN=4-1-x=3-x，
∵M(jìn)B＞1，
∴3-x＞1，解得x＜2，
∵以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，
∴AC=AM=1，BC=BN=3-x，
∵1+x＞3-x，解得x＞1，
∴x的取值范圍為1＜x＜2；
（2）∵1＜x＜2；
∴△ABC為等腰三角形時(shí)，AB=BC，即x=3-x，
∴x=

2

3

；
（3）∵1＜x＜2，
∴AC不能為斜邊，
當(dāng)AC²+BC²=AB²，即AB為斜邊時(shí)，
∴1²+（3-x）²=x²，解得x=

5

3

；
當(dāng)BC為斜邊時(shí)，即AC²+AB²=BC²，
∴1²+x²=（3-x）²，解得x=

4

3

，
∴當(dāng)x=

5

3

或

4

3

時(shí)，△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形三邊的關(guān)系和勾股定理．