Question

15．如圖，AB=CB，∠ABC=60°，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．
（1）求證：BE=BF；
（2）若CE=12，BF=9，求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ASA證明△ABE≌△CBF，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行解答即可．

解答 （1）證明：∵∠ABC=∠FBE，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠EAB=∠FCB\\ AB=CB\\∠ABE=∠CBF\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBF，
∴BE=BF；
（2）∵∠ABC=∠FBE，∠ABC=60°，
∴∠FBE=60°，
∵由（1）知BE=BF，
∴△EBF為等邊三角形，
∴∠BEF=60°，EF=BF，
∵∠CEB=30°，
∴∠CEF=90°，
∴在Rt△CEF中，CF²=CE²+EF²=CE²+BF²，
∵CE=12，BF=9，
∴CF=15，
又∵由（1）△ABE≌△CBF知，AE=CF，
∴AE=15．

點評 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)ASA證明△ABE≌△CBF．