Question

矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標(biāo)分別為A（6，0）、C（O，3），直線y=

3

4

x與與BC邊相交于點D．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²+bx經(jīng)過D、A兩點，試確定此拋物線的表達(dá)式；
（3）在（2）中拋物線的對稱軸是否存在點P，使四邊形ABDP的周長最小，并求出最小值；
（4）設(shè)（2）中拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點Q為對稱軸上一動點，以  Q、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，直接寫出符合條件的Q點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知直線y=

3

4

x與BC交于點D（x，3），把y=3代入等式可得點D的坐標(biāo)；
（2）如圖拋物線y=ax²+bx經(jīng)過D（4，3）、A（6，0）兩點，把已知坐標(biāo)代入解析式得出a，b的值即可；
（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得D點關(guān)于x軸的對稱軸的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短：AP+PD=AE，可得AE的長，根據(jù)四邊形的周長公式，可得ABDP的周長．
（4）證明Rt△P₁OM∽Rt△CDO以及Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO后推出CD=P₁P₂=4得出符合條件的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題知，直線y=

3

4

x與BC交于點D（x，3）．
把y=3代入y=

3

4

x中得，x=4，
∴D（4，3）；
（2）拋物線y=ax²+bx經(jīng)過D（4，3）、A（6，0）兩點，
把x=4，y=3；x=6，y=0，分別代入y=ax²+bx中，得

16a+4b=3 36a+6b=0

解得

a=- 3 8 b= 9 4

．
∴拋物線的解析式為y=-

3

8

x²+

9

4

x；
（3）如圖1：作D（4，3）點關(guān)于對稱軸x=3的對稱點E（2，3），連接AE交對稱軸于點P，

直線AE的解析式為y=kx+b，圖象經(jīng)過點A，點E，得

6k+b=0 2k+b=3

，
解得

k=- 3 4 b= 9 2

，
直線AE的解析式為y=-

3

4

x+

9

2

，
當(dāng)x=3時，y=-

3

4

×3+

9

2

=

9

4

，即P（3，

9

4

）．
四邊形ABDP周長的最小值=AB+DB+DP+AP=AB+DB+AE
=3+2+

AB2+BD2

=3+2+5=10；
（4）如圖2：拋物線的對稱軸與x軸交于點P₁，符合條件．

∵CB∥OA，
∴∠Q₁OM=∠CDO，
∵∠DCO=∠OQ₁M=90°，
∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO．
∵x=-

b

2a

=3，
∴該點坐標(biāo)為Q₁（3，0）．
過點O作OD的垂線交拋物線的對稱軸于點P₂，
∵對稱軸平行于y軸，
∴∠Q₂MO=∠DOC，
∴Rt△Q₂MO∽Rt△DCO．
在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中，

∠Q2=∠ODC ∠OQ1Q2=∠OCD Q1O=OC

，
∴RtQ₂Q₁O≌Rt△DCO（AAS）．
∴CD=Q₁Q₂=4，
∵點Q₂位于第四象限，
∴Q₂（3，-4）．
因此，符合條件的點有兩個，分別是Q₁（3，0），Q₂（3，-4）．

點評：此題考查函數(shù)性質(zhì)與坐標(biāo)關(guān)系，最后一問探究點的存在性問題，幾何圖形形式問題和直角三角形性質(zhì)，綜合性比較強，難度較大．