Question

6．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，-1）兩點．
（1）求拋物線與直線的解析式；
（2）若點D是直線l下方拋物線上的一動點，過點D作DE∥y軸交直線l于點E，求DE的最大值，并求出此時D的坐標；
（3）在（2）的條件下，DE取最大值時，點P在直線AB上，平面內(nèi)是否存在點Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，-1）兩點，直接利用待定系數(shù)法求即即可求得答案；
（2）首先設點D的坐標為：（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{4}$x-1），則點E的坐標為：（x，$\frac{3}{4}$x-1），則可得ED=（$\frac{3}{4}$x-1）-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{4}$x-1），繼而求得答案；
（3）分別從4方面去分析求解，注意根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，-1）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=2}\\{c=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=2}\\{m=-1}\end{array}\right.$，λ
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{5}{4}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{m=-1}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{4}$x-1，直線的解析式為：y=$\frac{3}{4}$x-1；

（2）設點D的坐標為：（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{4}$x-1），則點E的坐標為：（x，$\frac{3}{4}$x-1），
∴ED=（$\frac{3}{4}$x-1）-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{4}$x-1）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∴DE的最大值為：2，
∴此時D的坐標為：（2，-$\frac{3}{2}$）；

（3）當DE取最大值時，E的坐標為：（2，$\frac{1}{2}$），
∴DE=2，
①如圖1，PE=PQ=DE=2，
過點E作EF⊥PQ于點F，過點Q作AH⊥x軸，過點B作BH⊥y軸，交于點H，
則△PEF∽△ABH，
∴$\frac{EF}{BH}=\frac{PE}{AB}$，
∵A（4，2）、B（0，-1），
∴BH=4，AH=3，
∴OA=$\sqrt{B{H}^{2}+A{H}^{2}}$=5，
∴$\frac{EF}{4}=\frac{2}{5}$，
∴EF=$\frac{8}{5}$，
∴點P與點Q的橫坐標為：2+$\frac{8}{5}$=$\frac{18}{5}$，
∴點P的縱坐標為：$\frac{3}{4}$×$\frac{18}{5}$-1=$\frac{17}{10}$，
∴點Q的縱坐標為：$\frac{17}{10}$-2=-$\frac{3}{10}$，
∴點Q的坐標為：（$\frac{18}{5}$，-$\frac{3}{10}$）；
②如圖2，此時四邊形過點P作PF⊥DE于點F，
由①得：PF=$\frac{8}{5}$，
∴點P與點Q的橫坐標為：2-$\frac{8}{5}$=$\frac{2}{5}$，
∴點P的縱坐標為：$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{5}$-1=-$\frac{7}{10}$，
∴點Q的縱坐標為：-$\frac{7}{10}$-2=-$\frac{27}{10}$，
∴點Q的坐標為：（$\frac{2}{5}$，-$\frac{27}{10}$）；
③如圖3，作DE的垂直平分線，垂足為F，交直線AB于點P，則PF=QF，
此時點P的縱坐標為：-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$x-1，
解得：x=$\frac{2}{3}$，
∴PF=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴PQ=2PF=$\frac{8}{3}$，
∴點Q的橫坐標為：$\frac{2}{3}$+$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴點Q的坐標為：（$\frac{10}{3}$，-$\frac{1}{2}$）；
④如圖4，過點D作DF⊥AB于點F，則當PF=EF，
由①易得：EF=$\frac{6}{5}$，則EP=$\frac{12}{5}$，
∴點P的縱坐標為：$\frac{1}{2}$-$\frac{12}{5}$×$\frac{3}{5}$=-$\frac{47}{50}$，
∴點P的橫坐標為：-$\frac{47}{50}$=$\frac{3}{4}$x-1，
解得：x=$\frac{6}{75}$，
∴點Q的坐標為：（$\frac{6}{75}$，-$\frac{47}{50}$+2），即（$\frac{6}{75}$，$\frac{53}{50}$）；
綜上所述：點Q的坐標為：（$\frac{18}{5}$，-$\frac{3}{10}$），（$\frac{2}{5}$，-$\frac{27}{10}$），（$\frac{10}{3}$，-$\frac{1}{2}$），（$\frac{6}{75}$，$\frac{53}{50}$）．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．