Question

如圖，已知AB為O的直徑，AC為弦，CD⊥AB于D，若AE＝AC，BE交O于點F，連結CF、DE．求證：

(1)AE²＝AD·AB；

(2)∠ACF＝∠AED．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)連結BC，因為在O中AB是直徑， 　　∴∠ACB＝ 　　又CD⊥AB于D 　　∴△ACD∽△ABC 　　∴ 　　則AC2＝AD·AB 　　又AC＝AE 　　∴AE2＝AD·AB. 　　(2)∵AE2＝AD·AB 　　∴ 　　又∠EAD＝∠BAE 　　∴△EAD∽△BAE 　　∴∠AED＝∠ABE 　　又∵∠ABE＝∠ACF 　　∴∠AED＝∠ACP. 　　評析：遇到直徑，一般可考慮作出直徑所對的圓周角．得到直角三角形，這是一種常用方法．

提示：

思路與技巧：連結BC，由AB是O的直徑可得∠ACB＝．又CD⊥AB于D，可找出與AC有關的比例線段AC2＝AD·AB，從而代換可得結論．緊扣第一題的結論可得△AED與△ABE相似，則有∠AED＝∠ABE．將圓周角∠ABE轉化為∠ACF即可．