Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AC，BC，求∠ACB的正切值；
（3）點(diǎn)P拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PBD與△CAB相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解，把解析式整理成頂點(diǎn)式即可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出∠OBC=45°，BC=3

2

，再過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，利用tan∠ACB=

AH

CH

求出即可；
（3）先求出邊AD，BC、AB的長度，根據(jù)數(shù)據(jù)可得∠B與∠D都是45°角，然后分AD與AB是對應(yīng)邊與AD與BC是對應(yīng)邊兩種情況利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求出DP的長度，從而點(diǎn)P的坐標(biāo)便可求出．

解答：解：（1）∵拋物線過點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），
∴

32+3b+c=0 c=3

，
解得

b=-4 c=3

，
∴拋物線解析式為：y=x²-4x+3，
又∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是：D（2，-1）；

（2）∵拋物線y=x²-4x+3與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在B點(diǎn)的左側(cè)），
∴A（1，0），
又∵O（0，0），C（0，3），B（3，0），
∴BO=CO=3，
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=45°，BC=3

2

，
過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，
∴∠AHB=90°，
∵AB=2，∴AH=BH=

2

，
∴CH=BC-BH=2

2

，
∴tan∠ACB=

AH

CH

=

2

2 2

=

1

2

；

（3）設(shè)對稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，則AE=3-2=1，DE=|-1|=1，
∴AD=

DE2+AE2

=

2

，且∠ADE=45°，
在△ABC中，AB=3-1=2，
BC=

OC2+OB2

=

32+32

=3

2

，且∠ABC=45°，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，y），
∵△ADP與△ABC相似時(shí)，
∴①當(dāng)AD與AB是對應(yīng)邊時(shí)，

DP

BC

=

AD

AB

，
即

DP

3 2

=

2

2

，
解得DP=3，
y-（-1）=3，
解得y=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，2）
②當(dāng)AD與BC是對應(yīng)邊時(shí)，

DP

AB

=

AD

BC

，
即

DP

2

=

2

3 2

，
解得DP=

2

3

，
y-（-1）=

2

3

，
解得y=-

1

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，-

1

3

）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，2）或（2，-

1

3

）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，（3）中注意相似三角形的對應(yīng)邊不明確，要分情況討論求解，避免漏解而導(dǎo)致出錯(cuò)．