Question

【題目】如圖，拋物線y＝+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A（0，﹣1），點B（9，﹣10），AC∥x軸，點P是直線AC上方拋物線上的動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB，AC分別交于點E，F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；

（3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）或．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)平行于軸的直線上點的縱坐標相等，可得點的縱坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得的解析式，根據(jù)直線上的點滿足函數(shù)解析式，可得點坐標，根據(jù)平行于軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質，可得答案；

（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質，可得，根據(jù)相似三角形的判定，可得關于的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解：（1）將，代入函數(shù)解析式，得

，

解得，

拋物線的解析式；

（2）軸，，

．

解得，．

點的坐標為．

點，，

直線的解析式為．

設點，

．

．

，，

．

，

當時，四邊形的面積的最大值是．

此時點，．

（3），

．

，．

．

．

同理可得．

．

分兩種情況：如圖，

①當時，．

，，，

．

解得．

．

②當時，．即．

解得．

．

綜合①②得，存在這樣的點，其坐標是或．