Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，AC交⊙O于點E，D 為AC上一點，∠AOD＝∠C．

（1）求證：OD⊥AC；

（2）若AE＝8，cosA＝，求OD的長．

 

Answer 1

【答案】

⑴證明過程見解析，⑵3

【解析】（1）證明：∵BC是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑

∴∠ABC=90°，------------------2分

∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C，

∴∠AOD+∠A=90°，-----------------------3分

∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC.            ----------------4分

（2）解：∵OD⊥AE，O為圓心，

∴D為AE中點 ，---------------------------5分

∴，-------------------6分

又∵cosA=，∴=∴AO=5--------------7分

∴OD=3---------------------- -8分

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ABC=90°，進(jìn)而得出∠A+∠C=90°，再由∠AOD=∠C，可得∠AOD+∠A=90°，即可證明；（2）由垂徑定理可得，D為AE中點，根據(jù)已知可利用銳角三角函數(shù)求出