Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE且交AG于點(diǎn)F．
（1）求證：AE=BF；
（2）如圖1，連接DF、CE，探究線(xiàn)段DF與CE的關(guān)系并證明；
（3）如圖2，若AB=

6

，G為CB中點(diǎn)，連接CF，直接寫(xiě)出四邊形CDEF的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)垂直的定義和平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠AED=∠BFA=90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角邊”證明△AFB和△DEA全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BF；
（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明△FAD和△EDC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=CE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADF=∠DCE，再求出∠DCF+∠CDF=90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可；
（3）根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后利用△ABG的面積列出方程求出BF，再利用勾股定理列式求出AF，從而得到AE=EF，再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得DF=AD，然后根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE且交AG于點(diǎn)F，
∴BF⊥AG于點(diǎn)F，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△AFB和△DEA中，

∠AED=∠BFA=90° ∠BAF=∠ADE AB=AD

，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴BF=AE；

（2）DF=CE且DF⊥CE．
理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，
∴∠FAD=∠EDC，
∵△AFB≌△DEA，
∴AF=DE，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
在△FAD和△EDC中，

AF=DE ∠FAD=∠EDC AD=CD

，
∴△FAD≌△EDC（SAS），
∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠DCF+∠CDF=90°，
∴DF⊥DE；

（3）∵AB=

6

，G為CB中點(diǎn)，
∴BG=

1

2

BC=

6

2

，
由勾股定理得，AG=

AB2+BG2

=

( 6 )2+( 6 2 )2

=

30

2

，
∵S_△ABG=

1

2

AG•BF=

1

2

AB•BG，
∴

1

2

×

30

2

•BF=

1

2

×

6

×

6

2

，
解得BF=

30

5

，
由勾股定理得，AF=

AB2-BF2

=

( 6 )2-( 30 5 )2

=

2 30

5

，
∵△AFB≌△DEA，
∴AE=BF=

30

5

，
∴AE=EF=

30

5

，
∴DE垂直平分AF，
∴DF=AD=

6

，
由（2）知，DF=CE且DF⊥CE，
∴四邊形CDEF的面積=

1

2

DF•CE=

1

2

×

6

×

6

=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（3）求出DF=AD并熟悉對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積的求解方法．