Question

如圖，在平面直角坐標系中A（6，0），B（5，3），C（0，3），D（1，3），點P為線段OA上一點且∠BPD=45°，則點P坐標為

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：作BD的垂直平分線交BD于H，交OA于N，在HN上截取HM=

1

2

BD，以M點為圓心，BM為半徑作⊙O交OA于P₁，P₂，連接MP₁，如圖，由MH⊥BD，MH=

1

2

BD可判斷△BDM為等腰直角三角形，則∠BMD=90°，根據(jù)圓周角定理得∠BP₁D=∠BP₂D=

1

2

∠BMD=45°，即P₁點和P₂點為滿足條件的點；再由D（1，3），B（5，3）得到BC∥OA，BD=4，由于MH垂直平分BD，易得H（3，3），N（3，0），M（3，1），然后根據(jù)勾股定理在Rt△BMH中計算出BM=2

2

，在Rt△MNP₁中計算出NP₁=

7

，
∴NP₂=NP₁=

7

，則OP₁=ON-NP₁=3-

7

，OP₂=ON+NP₂=3+

7

，易得P₁（3-

7

，0），P₂（3+

7

，0），所以P點坐標為（3-

7

，0）或（3+

7

，0）．

解答：解：作BD的垂直平分線交BD于H，交OA于N，在HN上截取HM=

1

2

BD，以M點為圓心，BM為半徑作⊙O交OA于P₁，P₂，連接MP₁，如圖，
∵MH⊥BD，MH=

1

2

BD，
∴△BDM為等腰直角三角形，
∴∠BMD=90°，
∴∠BP₁D=∠BP₂D=

1

2

∠BMD=45°，
∵D（1，3），B（5，3），
∴BC∥OA，BD=4，
∵MH垂直平分BD，
∴H（3，3），N（3，0），M（3，1），
在Rt△BMH中，BM=

BH2+MH2

=

22+22

=2

2

，
在Rt△MNP₁中，NP₁=

MP12-MN2

=

(2 2 )2-12

=

7

，
∴NP₂=NP₁=

7

，
∴OP₁=ON-NP₁=3-

7

，OP₂=ON+NP₂=3+

7

，
∴P₁（3-

7

，0），P₂（3+

7

，0），
即P點坐標為（3-

7

，0）或（3+

7

，0）．
故答案為（3-

7

，0）或（3+

7

，0）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、垂徑定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；會運用勾股定理計算線段的長；理解坐標與圖形性質(zhì)．